小論文が書けるようになるまでどの位の期間がかかりますか？

標準的な能力を持った高校3年生であれば、大雑把に言って３か月～６か月と言うところでしょうか。
（浪人生でスタートする場合でも初めて小論文に触れるのであれば、大体同じ位でしょう）

内訳としては、最初に小論文の形式に慣れる（早い人は直ぐでしょうが、２～３か月を観た方が良いでしょう）
次に、小論文と言う形式（体裁）は書けるようになったけれども中身をブラッシュアップするor色々な素材・テーマについて考えると言う事で３か月前後と言う感じでしょう。

但し、これは飽くまで個々人によって差が出る部分なので、通常の勉強は得意だけど書くのは苦手と言う人もいれば、通常の勉強は苦手だけど書くのは得意と言う人もいるので ケースバイケースと言う事になるのは致し方がないところです。
また、これも当たり前ですが、目指すべき大学や、出題される内容の難易度によっても時間は前後します。